Untersuchungen zur Theorie der periodischen Orbitale für den Fall einer Kreisscheibe im homeogenen Magnetfeld

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Theorie der periodischen Bahnen, die meist nach dem englischen Namen "`Periodic Orbit Theory"' als POT bezeichnet wird. Sie stellt über sogenannte Spurformeln einen Zusammenhang zwischen den klassischen periodischen Bahnen eines Systems und dessen Zustandsdichte her. Eine solche Beschreibung quantenmechanischer Effekte durch Größen der klassischen Physik heißt semiklassisch. Diese Ansätze sind Näherungen, also in ihrem Gültigkeitsbereich und ihrer Genauigkeit der Quantenmechanik unterlegen. Sie beziehen ihre Berechtigung zum einen aus dem ungleich größeren Maß an Anschaulichkeit. Dadurch werden experimentell meßbare Eigenschaften von Systemen oft auch intuitivem Verständnis und nicht nur numerischer Verifikation zugänglich. Zum anderen sind solche Ansätze im Grenzbereich zwischen Quantenphysik und klassischer Physik geeignete Werkzeuge. Dort, wo die klassische Physik aufgrund von Quantenkorrekturen keine befriedigenden Ergebnise mehr liefert und der Rechenaufwand für die quantenmechanische Lösung aufgrund großer Teilchenzahlen nicht mehr zu bewältigen ist, können semiklassische Methoden erfolgreich eingesetzt werden. Dabei ist die Frage nach dem Gültigkeitsbereich der semiklassischen Näherung natürlich von entscheidender Bedeutung. Diese Frage wird auch in dieser Arbeit immer wieder diskutiert werden. Es wird dabei versucht, dem Fehler nicht nur einen numerischen Wert, sondern auch eine physikalische Bedeutung zuzuordnen.

Die Untersuchungen werden an einem einfachen Modellsystem, dem Kreisbillard, durchgeführt. Darunter versteht man einen zweidimensionalen, radialsymmetrischen Potentialtopf mit harten Wänden. Dieses System ist wird ohne Feld, mit zentraler Flußlinie und im homogenen Magnetfeld untersucht. Es ist in all diesen Fällen quantenmechanisch noch exakt lösbar, was eine Analyse der Fehler der POT erleichtert.
 
Die Arbeit ist in sechs Teile gegliedert. Nach dieser Einführung wird zunächst in
Kapitel 2 eine kurze Übersicht über andere semiklassische Ansätze gegeben, um den Kontext dieser Arbeit zu umreißen. Dabei werden auch die Grundideen der POT vorgestellt. Die POT ermöglicht eine Darstellung der Einteilchenniveaudichte eines Systems als Summe über dessen klassische periodische Bahnen, wobei als Summanden nur (von der periodischen Bahn abhängige) Größen der klassischen Physik auftreten. Diese Darstellung kann meist nur die Grobstruktur der Niveaudichte reproduzieren. S. Reimann hat festgestellt, daß die POT für den Fall des Kreisbillards sogar Näherungen der einzelnen Energieniveaus liefert. Das erste Ziel dieser Arbeit ist die genaue numerische Bestimmung dieser Werte und deren Vergleich mit den Ergebnissen der Quantenmechanik sowie anderer semiklassischer Näherungen.Bei der Auswertung von PO-Summen treten erhebliche Konvergenzprobleme auf. Üblicherweise werden diese Probleme durch das Einführen einer exponentiellen Dämpfung der Beiträge längerer Orbits umgangen. Dieser Ansatz liefert aber für die Bestimmung der Eigenwerte keine ausreichend genaue Fehlerabschätzung. Kapitel 3 beschäftigt sich daher detaillierter mit diesem Konvergenzproblem. Die zunächst sehr formalen Überlegungen führen auf eine allgemeinere Methode zur Auswertung von PO-Summen. Mit ihrer Hilfe können die semiklassischen Näherungen der Eigenwerte des Kreisbillards mit engen Fehlergrenzen bestimmt werden. Das wird in Kapitel 4 durchgeführt.
In letzter Zeit finden Quantendots großes Interesse. Es handelt sich dabei um Halbleiterheterostrukturen, in denen sich ein zweidimensionales Elektronengas ausbildet. Dieses kann durch lithographische Methoden räumlich so eng begrenzt werden, daß sich Quantisierungseffekte zeigen. Das Kreisbillard ist als einfaches Modell für runde Quantendots geeignet. In einer einfachen Näherung ist Leitwert eines Quantendots, der durch Punktkontakte mit dem umliegenden Elektronengas verbunden ist, proportional zur Niveaudichte des Kreisbillards an der Fermikante. Für diesen Fall damit ist eine Bestimmung der Leitwerte mit den Methoden der POT möglich. Perssons Messungen der Leitwerte von Quantendots im Magnetfeld motivierten semiklassische Untersuchungen des Kreisbillards im homogenen Feld. S. Reimann hat für dieses System eine Näherung der POT für schwache Felder vorgestellt. Die von ihr berechnete Schalenstruktur zeigt mit den gemessenen Leitwerten bei kleinen Feldern qualitative Übereinstimmung. Ziel dieser Arbeit war die Entwicklung einer Spurformel für beliebig starke Felder. Diese wird in Kapitel 5 vorgestellt. In Kapitel 6 werden die semiklassisch berechneten Schalenstrukturen mit den Experimenten bei schwachen Feldern von Persson verglichen. Ein Ausblick auf das zu erwartende Verhalten bei starken Feldern beschließt die Arbeit.